Question

11．已知函数$f（x）=2sinxsin（x+\frac{π}{6}）$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过正弦函数的单调区间求解即可．
（2）利用自变量的范围，求解相位的范围，通过正弦函数的有界性求解即可．

解答 解：（1）$f（x）=2sinx（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）=\sqrt{3}\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x$ …（2分）
=$sin（2x-\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（4分）
因为$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，解得$$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5}{12}π+kπ$，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间是$[-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5}{12}π+kπ]，k∈{Z}$．…（6分）
（2）$x∈[0，\frac{π}{2}]，2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2}{3}π]，sin（2x-\frac{π}{3}）∈[-\frac{\sqrt{3}}{2}，1]，…（$10分）
因此f（x）的最大值为1，最小值为$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，函数的单调性以及的最值的求法，考查计算能力．