Question

16．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程；
（II）先根据（I）得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ²=6ρsinθ，
化为直角坐标方程为x²+y²=6y，
即x²+（y-3）²=9．
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得t²+2（cosα-sinα）t-7=0．
由△=（2cosα-2sinα）²+4×7＞0，
故可设t₁，t₂是上述方程的两根，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{1}=-2（cosα-sinα）}\\{{t}_{1}•{t}_{2}=-7}\end{array}\right.$，
又直线l过点（1，2），
故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$
=$\sqrt{4（cosα-sinα）^{2}+28}$=$\sqrt{32-4sin2α}$$≥\sqrt{32-4}$=2$\sqrt{7}$．
所以|PA|+|PB|的最小值为2$\sqrt{7}$．

点评 此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．