Question

8．已知△ABC中，AC=2，A=120°，$cosB=\sqrt{3}sinC$．
（Ⅰ）求边AB的长；
（Ⅱ）设（3，4）是BC边上一点，且△ACD的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，求∠ADC的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件以及两角和与差的三角函数化简方程，求出B的值，然后求解边AB的长；
（Ⅱ）利用三角形的面积以及余弦定理，结合正弦定理转化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因为A=120°，所以C=60°-B，由$cosB=\sqrt{3}sinC$
得$cosB=\sqrt{3}sin（{60°-B}）$=$\sqrt{3}•（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB-\frac{1}{2}sinB}）$=$\frac{3}{2}cosB-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB$．…（3分）
即$cosB=\sqrt{3}sinB$，从而$tanB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，…（4分）
又0°＜B＜60°，所以B=30°，C=60°-B=30°，所以AB=AC=2．…（6分）
（Ⅱ）由已知得$\frac{1}{2}•AC•CD$$•sin30°=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，所以$CD=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．…（8分）
在△ACD中，由余弦定理得AD²=AC²+CD²-2•AC•$CDcosC=\frac{7}{4}$，$AD=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，…（10分）
再由正弦定理得$\frac{AD}{sinC}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，故$sin∠ADC=\frac{AC•sinC}{AD}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$…（12分）

点评 本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．