Question

6．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=2，曲线C的参数方程为   $\left\{\begin{array}{l}{x=rcosα}\\{y=-2+rsinα}\end{array}\right.$（α为参数）（r＞0）．
（Ⅰ）设t为参数，若x=-2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，求直线l的参数方程与曲线C的普通方程；
（Ⅱ）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（-2，-4），且|PQ|²=|MP|•|MQ|，求实数r的值．

Answer 1

分析 （I）将直线l的极坐标方程，利用互化公式可得直角坐标方程：x-y-2=0，得到直线l经过点（-2，-4），斜率为1．可得直线l的参数方程，求出C的普通方程即可．
（II）把直线l的参数方程代入曲线C的方程，设MP=t₁，MQ=t₂．根据|PQ|²=|MP|•|MQ|，根据根与系数的关系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）将x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入直线l的极坐标方程得直角坐标方程x-y-2=0，
再将x=-2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，代入直线l的直角坐标方程，得y=-4+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
所以直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$   （t为参数），
x²+（y+2）²=（rcosα）²+（rsinα）²=r²，
得曲线C普通方程为x²+（y+2）²=r²；                              
（Ⅱ）将（1）中的直线参数方程代入x²+（y+2）²=r²，并整理得：
t²-4$\sqrt{2}$t+8-r²=0，又△=${（4\sqrt{2}）}^{2}$-4（8-r²）=4r²＞0，
设P、Q对应参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=4$\sqrt{2}$，t₁•t₂=8-r²，
由t的几何意义得|PQ|=|t₁-t₂|=$\sqrt{{{（t}_{1}{+t}_{2}）}^{2}-{{4t}_{1}t}_{2}}$=2r，
|MP|•|MQ|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=|8-r²|，
所以（2r）²=|8-r²|，
解得：r=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了直角坐标方程与极坐标方程互化、直线参数方程及其应用、直线与曲线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．