Question

如图所示，离心率为的椭圆上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点、和、，且满足，其中为常数，过点作的平行线交椭圆于、两点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若点，求直线的方程，并证明点平分线段.

Answer 1

（1）；（2）详见解析．

试题分析：（1）由题得，，联立解这个方程组即得.（2）首先求出直线MN的方程.由于MN过点P（1，1），故只要求出MN的斜率即可.又由于MN平行AB，故先求出直线AB的斜率.设，则.由可得点C的坐标，由可得点D的坐标，将A、B、C、D的坐标代入椭圆方程得四个等式，利用这四个等式可整体求出，然后求出直线MN的方程，与椭圆方程联立可求得MN的中点坐标即为点P的坐标，从而问题得证 .
（1）由题得，，联立 解得，，，
∴椭圆方程为              4分
（2）方法一：设，由可得.
∵点在椭圆上，故
整理得：          6分
又点在椭圆上可知，
故有   ①
由，同理可得：     ②
②-①得：，即              9分
又∥，故
∴直线的方程为：，即.
由可得：
∴是的中点，即点平分线段              12分
（2）方法二：∵，，∴，即

在梯形中，设中点为，中点为，
过作的平行线交于点
∵与面积相等，∴
∴，，三点共线            6分
设，
∴，，
两式相减得 ，
显然，（否则垂直于轴，因不在轴上，此时不可能垂直于轴保持与平行）且（否则平行于轴或经过原点，此时，，三点不可能共线）
∴
设直线斜率为，直线斜率为
∴，即    ①
设直线斜率为，直线斜率为
同理，，又，∴即三点共线    8分
∴四点共线，∴，代入①得           9分
∴直线的方程为  即
联立得
∴点平分线段                12分