Question

10．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x-y=0．
（Ⅰ）实数a的值；
（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x₀，使得x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$＜mf（x₀）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，根据导函数的概念求解即可；
（Ⅱ）构造函数$h（x）=x+\frac{1}{x}-mf（x）=x+\frac{1}{x}-mlnx+\frac{m}{x}$，只需求出函数的最小值小于零即可，求出函数的导函数，对参数m进行分类讨论，判断函数的单调性，求出函数的最小值，最后得出m 的范围．．

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}$，函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x-y=0．
∴f'（1）=1-a=2
∴a=-1
（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x₀，使得${x_0}+\frac{1}{x_0}＜mf（{x_0}）$成立，
构造函数$h（x）=x+\frac{1}{x}-mf（x）=x+\frac{1}{x}-mlnx+\frac{m}{x}$的最小值小于零．
$h'（x）=1-\frac{1}{x^2}-\frac{m}{x}-\frac{m}{x^2}=\frac{{{x^2}-mx-m-1}}{x^2}=\frac{（x+1）（x-m-1）}{x^2}$…（6分）
①当m+1≥e时，即m≥e-1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，…（8分）
由$h（e）=e+\frac{1+m}{e}-m＜0$可得$m＞\frac{{{e^2}+1}}{e-1}$，
因为$\frac{{{e^2}+1}}{e-1}＞e-1$，所以$m＞\frac{{{e^2}+1}}{e-1}$；    …（10分）
②当m+1≤1，即m≤0时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
由h（1）=1+1+m＜0可得m＜-2； …（11分）
③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e-1时，
最小值为h（1+m），
因为0＜ln（1+m）＜1，所以，0＜mln（1+m）＜m，
h（1+m）=2+m-mln（1+m）＞2
此时，h（1+m）＜0不成立．
综上所述：可得所求m的范围是：$m＞\frac{{{e^2}+1}}{e-1}$或m＜-2．…（12分）

点评 考查了导数的概念和存在问题的转化，利用导函数求函数的最值问题．