Question

已知下列是两个等式：①sin60°sin30°=sin²45°-sin²15°；②sin5°sin1°=sin²3°-sin²2°．
（1）请你写出一个一般的三角的等式，使上述两个等式是它的特例；
（2）请证明你的结论．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,归纳推理

专题：三角函数的求值

分析：（1）根据以上两式总结一般的三角等式为：sinα•sinβ=sin2

α+β

2

-sin2

α-β

2

（2）依据三角变换中的降幂，半角化倍角恒等变换，从等式的右边出发向左边进行证明从而得到结论．

解答： （1）根据以上两式总结一般的三角等式为：sinα•sinβ=sin2

α+β

2

-sin2

α-β

2

（2）证明：
sin2

α+β

2

=

1-cos(α+β)

2

，
sin2

α-β

2

=

1-cos(α-β)

2

cos（α+β）=cosα•cosβ-sinα•sinβ 
cos（α-β）=cosαcosβ+sinα•sinβ 
右边=sin2

α+β

2

-sin2

α-β

2

=

1-cos(α+β)

2

-

1-cos(α-β)

2

=

cos(α-β)-cos(α+β)

2

=sinα•sinβ

点评：本题重点利用三角变换中的降幂，半角化倍角恒等变换，通过复杂一方向简单一方进行证明．