Question

设函数f（x）=（ax²+ax+1）e^x，其中a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在其定义域内是单调函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，0）内存在极值，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求导，进而根据f（x）在其定义域内是单调函数，分a=0和a≠0两种情况讨论满足条件的a的取值，最后综合讨论结果，可得a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，0）内存在极值，则f′（x）在（-1，0）内存在零点，进而根据零点存在定理得到a的取值范围．

解答： 解：（I）∵f（x）=（ax²+ax+1）e^x，
∴f′（x）=（ax²+3ax+a+1）e^x，
当a=0时，f′（x）=e^x＞0恒成立，满足f（x）在其定义域内是单调函数，
当a≠0时，若f（x）在其定义域内是单调函数，
则ax²+3ax+a+1=0至多有一个根，
即△=9a²-4a（a+1）≤0，
解得：0＜a≤

4

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，
综上所述：0≤a≤

4

5

，
（II）若f（x）在（-1，0）内存在极值，首先a＜0，或a＞

4

5

，
且f′（x）=（ax²+3ax+a+1）e^x=0至少有一个根在（-1，0）内，
即ax²+3ax+a+1=0至少有一个根在（-1，0）内，
∵函数g（x）=ax²+3ax+a+1的对称轴为x=-

3

2

∉（-1，0），
∴g（-1）•g（0）=（-a+1）（a+1）＜0，
解得：a＜-1，或a＞1

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数极值，难度中档．