Question

1．已知椭圆 $C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，它的长轴长等于圆x²+y²-2x+4y-3=0的直径．
（1）求椭圆 C的方程；
（2）若过点$P（{0，\frac{2}{3}}）$的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在定点Q，使得以AB为直径的圆经过这个定点，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由？

Answer 1

分析 （1）求出圆的直径为$4\sqrt{2}$，推出a，由离心率求解c，然后求解椭圆C的方程．
（2）猜想存在点Q（0，2），使得以 AB为直径的圆经过这个定点．设直线 AB的方程为$y=kx-\frac{2}{3}$，与椭圆$C：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，联立方程组得：$（{1+2{k^2}}）{x^2}-\frac{8}{3}kx-\frac{64}{9}=0$，设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理，向量的数量积转化求解即可．

解答 解：（1）圆方程x²+y²-2x+4y-3=0化为（x-1）²+（y+2）²=8，则圆的直径为$4\sqrt{2}$，∴$2a=4\sqrt{2}$，
由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得：c=2，b²=a²-c²=8-4=4，
以椭圆C的方程：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）过点$P（{0，-\frac{2}{3}}）$作斜率为0和斜率不存在的直线l交椭圆C的两个交点为直径的圆分别为${x^2}+{（{y+\frac{2}{3}}）^2}=\frac{64}{9}$和x²+y²=4，这两个圆的交点为（0，2）．
所以猜想存在点Q（0，2），使得以 AB为直径的圆经过这个定点．
设直线 AB的方程为$y=kx-\frac{2}{3}$，与椭圆$C：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，
联立方程组得：$（{1+2{k^2}}）{x^2}-\frac{8}{3}kx-\frac{64}{9}=0$，
设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）得，${x_1}+{x_2}=\frac{{\frac{8}{3}k}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{-\frac{64}{9}}}{{1+2{k^2}}}$，
则$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=（{{x_1}，{y_1}-2}）•（{{x_2}，{y_2}-2}）=（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}-\frac{8}{3}（{{x_1}+{x_2}}）+\frac{64}{9}$
=$（{1+{k^2}}）\frac{{-\frac{64}{9}}}{{1+2{k^2}}}-\frac{8}{3}\frac{{\frac{8}{3}k}}{{1+2{k^2}}}+\frac{64}{9}=-\frac{64}{9}\frac{{1+2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+\frac{64}{9}=0$，
所以$\overrightarrow{QA}⊥\overrightarrow{QB}$，
即以 AB为直径的圆经过这个定点Q（0，2）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，向量在几何中的应用，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．