Question

11．设函数f（x）=xe^x-ax²（a∈R）．
（1）若函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$是奇函数，求实数a的值；
（2）若对任意的实数a，函数h（x）=kx+b（k，b为实常数）的图象与函数f（x）的图象总相切于一个定点．
①求k与b的值；
②对（0，+∞）上的任意实数x₁，x₂，都有[f（x₁）-h（x₁）][f（x₂）-h（x₂）]＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的定义得出恒等式，从而得出a的值；
（2）①由f′（x）与a无关即可得出切点横坐标，再计算切点坐标得出切线方程，从而得出k，b的值；
②由题意可知f（x）-h（x）在（0，+∞）上恒正或恒负，化简可得p（x）=e^x-ax-1在（0，+∞）上恒正或恒负，讨论a的范围，计算p（a）的最值进行判断．

解答 解：（1）∵函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$是奇函数，∴$\frac{f（-x）}{{e}^{-x}}=-\frac{f（x）}{{e}^{x}}$恒成立，
即$\frac{-x{e}^{-x}-a{x}^{2}}{{e}^{-x}}$=-$\frac{x{e}^{x}-a{x}^{2}}{{e}^{x}}$，∴ax²（e^-x+e^x）=0恒成立，
∴a=0．
（2）①f′（x）=e^x（x+1）-2ax，设切点为（x₀，y₀），
则切线的斜率为f′（x₀）=e${\;}^{{x}_{0}}$（x₀+1）-2ax₀，
据题意f′（x₀）是与a无关的常数，故x₀=0，k=f′（0）=1，
∵f（0）=0，∴切点为（0，0），
∴切线的方程为h（x）=x，故k=1，b=0．
②∵对（0，+∞）上的任意实数x₁，x₂，[f（x₁）-h（x₁）][f（x₂）-h（x₂）]＞0恒成立，
∴f（x）-h（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，或f（x）-h（x）＜0在（0，+∞）上恒成立．
f（x）-h（x）=x（e^x-ax-1），
设p（x）=e^x-ax-1，x∈（0，+∞）．
则p（x）＞0＞0在（0，+∞）上恒成立，或p（x）＜0在（0，+∞）上恒成立．
p′（x）=e^x-a，
1°，当a≤1时，∵x∈（0，+∞），∴e^x＞1，∴p′（x）＞0恒成立，
∴p（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴p（x）＞p（0）=0，符合题意．
2°，当a＞1时，令p′（x）=0得x=lna，
∴当0＜x＜lna时，p′（x）＜0，当x＞lna时，p′（x）＞0，
∴p（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
∴p（lna）＜p（0）=0，
而p（a）=e^a-a²-1，（a＞1），
令φ（a）=e^a-a²-1，则φ′（a）=e^a-2a，φ″（a）=e^a-2＞e-2＞0，
∴φ′（a）在（1，+∞）上单调递增，∴φ′（a）＞φ′（1）=e-2＞0，
∴φ（a）在（1，+∞）上单调递增，∴φ（a）＞φ（1）=e-2＞0，
即p（a）＞0，而p（lna）＜0，不合题意．
综上，实数a的取值范围（-∞，1]．

点评 本题考查了奇函数的性质，函数的单调性判断与最值计算，属于中档题．