Question

2．数列{a_n}满足a_n+5a_n+1=36n+18，n∈N*，且a₁=4．
（Ⅰ）写出{a_n}的前3项，并猜想其通项公式；
（Ⅱ）若各项均为正数的等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₃=a₃，求数列{n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）根据递推公式求出a₂，a₃，猜想a_n=6n-2，
（II）先求出b_n，再根据错位相减法即可求出数列{n•b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵an+5an+1=36n+18，n∈N*，且a1=4，
∴a1+5a2=36+18，解得a2=10，
∴a2+5a3=36×2+18，解得a3=16，
猜想an=6n-2，
（Ⅱ）由题意可得b1=4，b3=16，
故数列{bn}的公比为q满足q2=4，
又∵{bn}各项为正数，故q=2，bn=2n+1，
∴Tn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1，
∴2Tn=1×23+2×24+…+（n-1）×2n+1+n×2n+2，
∴-Tn=22+23+24+…+×2n+1-n×2n+2=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n×2n+2=-4-（n-1）2n+2，
∴Tn=4+（n-1）2n+2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式前n项和公式，以错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．