Question

【题目】已知椭圆E： （a＞b＞0）的离心率 ，且点 在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点 ．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，e= = ，a2﹣b2=c2 ， ∵点 在椭圆上，
∴ ，解得a=2，b=1．
∴椭圆方程为 ；
（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
∵AB的垂直平分线过点 ，∴AB的斜率k存在．
当直线AB的斜率k=0时，x1=﹣x2 ， y1=y2 ，
∴S△AOB= 2|x||y|=|x|
= ≤ =1，
当且仅当x12=4﹣x12 ， 取得等号，
∴ 时，（S△AOB）max=1；
当直线AB的斜率k≠0时，设l：y=kx+m（m≠0）．
消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
由△＞0可得4k2+1＞m2①，
x1+x2=﹣ ，x1x2= ，可得 ，
，
∴AB的中点为 ，
由直线的垂直关系有 ，化简得1+4k2=﹣6m②
由①②得﹣6m＞m2 ， 解得﹣6＜m＜0，
又O（0，0）到直线y=kx+m的距离为 ，
，

= ，
∵﹣6＜m＜0，∴m=﹣3时， ．
由m=﹣3，∴1+4k2=18，解得 ；
即 时，（S△AOB）max=1；
综上：（S△AOB）max=1．
【解析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），讨论直线AB的斜率为0和不为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式和二次函数的最值的求法，可得面积的最大值．