Question

已知函数f（x）=

2x+a

2x+1+2

是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断并证明单调性；
（3）求f（x）的值域；
（4）若不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0对t∈[1，3]恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用f（x）为R上的奇函数，由f（0）=0即可求得a的值；
（2）利用将f（x）=

2x-1

2x+1+2

转化为f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，可判断为R上的增函数，再利用导数法证明即可；
（3）利用指数函数的单调性质，易求f（x）的值域为（-

1

2

，

1

2

）；
（4）依题意，可得t²-2t＜k-2t²对t∈[1，3]恒成立，转化为k＞3t²-2t=3（t-

1

3

）²-

1

3

（1≤t≤3）恒成立．令y=3（t-

1

3

）²-

1

3

（1≤t≤3），易求y_max=21，从而可求得k的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2x+a

2x+1+2

是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，解得a=-1；
（2）由（1）知，f（x）=

2x-1

2x+1+2

=

(2x+1)-2

2x+1+2

=

1

2

-

1

2x+1

，为R上的增函数；
证明：∵f′（x）=-[-

2xln2

(2x+1)2

]=

2xln2

(2x+1)2

＞0恒成立，
∴f（x）=

2x-1

2x+1+2

是定义在R上的增函数；
（3）∵2^x＞0，2^x+1＞1，
∴

1

2x+1

∈（0，1），-

1

2x+1

∈（-1，0），
∴

1

2

-

1

2x+1

∈（-

1

2

，

1

2

），即f（x）的值域为（-

1

2

，

1

2

）；
（4）∵f（x）=

2x-1

2x+1+2

是定义在R上的递增的奇函数，
且f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0对t∈[1，3]恒成立，
∴t²-2t＜k-2t²对t∈[1，3]恒成立，
∴k＞3t²-2t=3（t-

1

3

）²-

1

3

（1≤t≤3）恒成立．令y=3（t-

1

3

）²-

1

3

（1≤t≤3），
则k＞y_max，
当t=3时，y=3（t-

1

3

）²-

1

3

（1≤t≤3）取得最大值21，
∴k＞21．

点评：本题考查函数的性质，着重考查函数恒成立问题，考查函数的单调性与最值，考查构造函数思想、转化思想的综合运用，属于难题．