Question

9．已知函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₆的值为（　　）

• A． $\frac{2013}{2014}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2015}{2016}$
• D． $\frac{2016}{2017}$

Answer 1

分析 由已知得f′（1）=2+b=3，从而b=1，进而$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，然后由裂项相消法求和可得．

解答 解：函数的导数f′（x）=2x+b，
∵点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，
∴f′（1）=2+b=3，解得b=1．
∴f（x）=x²+x=x（x+1），
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S₂₀₁₆=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
故选C．

点评 本题考查数列的求和，涉及导数和曲线某点切线的斜率以及裂项相消法求和，属中档题．