Question

14．（1）求复数z=1+cosα+isinα（π＜α＜2π）的模．
（2）如（m+n）-（m²-3m）i＞-1，试求自然数m，n．

Answer 1

分析 （1）化简复数为a+bi的形式，利用复数的模的元素直接求解即可．
（2）由（m+n）-（m²-3m）i＞-1，得$\left\{\begin{array}{l}{m+n＞-1，①}\\{-（{m}^{2}-3m）=0，②}\end{array}\right.$，求解即可得答案．

解答 解：（1）|z|=$\sqrt{（1+cosα）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{2+2cosα}$=$\sqrt{2+4cos\frac{α}{2}-2}$=$\sqrt{4cos\frac{α}{2}}$=|2cos$\frac{α}{2}$|，
∵π＜α＜2π，∴$\frac{π}{2}＜\frac{α}{2}＜π$，cos$\frac{α}{2}$＜0，
∴|z|=-2cos$\frac{α}{2}$．
（2）由（m+n）-（m²-3m）i＞-1，
得$\left\{\begin{array}{l}{m+n＞-1，①}\\{-（{m}^{2}-3m）=0，②}\end{array}\right.$，解②得m=0或m=3．
当m=0时，n＞-1，n为大于等于0的所有自然数；
当m=3时，n＞-4，n为大于等于0的所有自然数．

点评 本题考查复数的模的定义，利用三角公式及角的范围、三角函数的符号来求复数的模，是基础题．