Question

19．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的两个零点分别为x₁、x₂．
（Ⅰ）若x₁=1，x₂=2，求a-b的值；
（Ⅱ）若x₁、x₂∈（0，1），求f（0）•f（1）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据韦达定理求出a，b的值，从而求出a-b的值即可；（Ⅱ）先求出f（0）•f（1）=x₁•x₂（1-x₁）（1-x₂），再根据均值不等式求出其范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：x₁+x₂=3=-a，x₁ x₂=2=b，
解得：a=-3，b=2，a-b=-5；
（Ⅱ）由题意得：f（x）=（x-x₁）（x-x₂），
∴f（0）•f（1）=x₁•x₂（1-x₁）（1-x₂），
∵x₁，x₂∈（0，1），由均值不等式得：
0＜x₁（1-x₁）≤${（\frac{{x}_{1}+1{-x}_{1}}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，
0＜x₂（1-x₂）≤${（\frac{{x}_{2}+1{-x}_{2}}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴f（0）•f（1）∈（0，$\frac{1}{16}$]，
当x₁=x₂=$\frac{1}{2}$时，f（0）f（1）取得最大值$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查均值不等式，是一道基础题．