Question

【题目】已知函数f(x)=x2-2(a+1)x+2alnx

（1）若a=2. 求f(x)的极值. （2）若a>0. 求f(x)的单调区间.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）详见解析.

【解析】试题分析：先求解（2）：定义域为，对函数求导得，由于，故分为三类，讨论函数的单调区间.（1）由前面的分析可知，当时，增区间为，减区间为，故极小值为，极大值为.

试题解析：由题知, x>0, ，

令f′(x)=0得x1=a,x2=1, 当0<a<1时,在x∈(0,a)或x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,

在x∈(a,1)时,f′(x)<0,

所以f(x)的单调递增区间为(0,a)和(1,+∞),单调递减区间为(a,1);当a=1时, ,

所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当a>1时,在x∈(0,1)或x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,在x∈(1,a)时,f′(x)<0,

所以f(x)的单调递增区间为(0,1)和(a,+∞),单调递减区间为(1,a).

（1）当a=2时,在x∈(0,1)或x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,在x∈(1,2)时,f′(x)<0,

所以x=1时有极大值：

所以x=2时有极大值：

（2）综上：当0<a<1时,f(x)的单调递增区间为(0,a)和(1,+∞),单调递减区间为(a,1);

当a=1时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);

当a>1时,f(x)的单调递增区间为(0,1)和(a,+∞),单调递减区间为(1,a).