Question

已知△ABC中，D是BC边的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F，若

AE

=λ

AB

，

AF

=μ

AC

，其中λ＞0，μ＞0，则λμ的最小值是（　　）

• A、1
• B、

  1

  2

• C、

  1

  3

• D、

  1

  4

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：因为D是边BC的中点，根据向量的加法运算能得到

AD

=

1

2

AB

+

1

2

AC

，正好条件中也出现了向量

AB

，

AC

，可以想着解出

AB

，

AC

，带入上式即可这样能得到

AD

=

1

2λ

AE

+

1

2μ

AF

，因为三点D，E，F共线，便得到

1

2λ

+

1

2μ

=1，到这根据不等式a+b≥2

ab

便能求出λμ的最小值．

解答： 解：由题意得

AD

=

1

2

AB

+

1

2

AC

=

1

2λ

AE

+

1

2μ

AF

，又D，E，F三点共线．
则

1

2λ

+

1

2μ

=1，∴2=

1

λ

+

1

μ

≥2

1 λμ

，即λμ≥1，所以λμ的最小值是1．
故答案选A．

点评：本题考察了向量与基本不等式的综合运用，注意的知识点是共线向量基本定理和平面向量基本定理，而起到比较关键作用的一步是将

AB

=

1

λ

AE

，

AC

=

1

μ

AF

分别带人

AD

=

1

2

AB

+

1

2

AC

．