Question

下列说法：
①“?x∈R，2^x＞3“的否定是“?x∈R，2^x≤3”．
②函数y=sin（2x+

π

4

）sin（

π

4

-2x）的最小正周期为π．
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值则f′（x）=0”的否命题是真命题．
④f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时的解析式是f（x）=2^x，则当x＜0时的解析式是f（x）=-2^-x．
其中正确的说法是

 

．（填序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用命题的否定定义可知正确．
②利用诱导公式和倍角公式可得：函数y=

1

2

sin(4x+

π

2

)=

1

2

cos4x，其最小正周期为

π

2

．
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值则f′（x）=0”的否命题是“函数f（x）在x=x₀处没有极值则f′（x）≠0”，利用f′（x）=0函数f（x）在x=x₀处有极值的必要非充分条件即可判断出．
④设x＜0时，-x＞0，则f（x）=-f（-x）=-2^-x，即可判断出．

解答： 解：①“?x∈R，2^x＞3“的否定是“?x∈R，2^x≤3”，利用命题的否定定义可知正确．
②函数y=sin（2x+

π

4

）sin（

π

4

-2x）=

1

2

sin(4x+

π

2

)=

1

2

cos4x，其最小正周期为

π

2

，因此不正确．
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值则f′（x）=0“的否命题是“函数f（x）在x=x₀处没有极值则f′（x）≠0”是假命题．
④f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时的解析式是f（x）=2^x，则当x＜0时，-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=-2^-x，因此x＜0的解析式是
f（x）=-2^-x，正确．
其中正确的说法是①④．
故答案为：①④．

点评：本题考查了命题的否定、否命题、函数在一点取得极值的条件、函数的奇偶性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．