Question

已知双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点到双曲线C₁渐近线的距离为2，则C₂的方程为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点F，运用点到直线的距离公式和离心率公式，即可得到p的方程，解得p，即可得到抛物线方程．

解答： 解：双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为y=±

b

a

x，
抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点F为（

p

2

，0），
则F到渐近线的距离为d=

| p 2 b|

a2+b2

=2，
由双曲线的离心率为2，即e=

c

a

=2，
b=

c2-a2

=

3

a，
则有

3 ap

2×2a

=2，
解得p=

8 3

3

，
则有抛物线的方程为y²=

16 3

3

x．
故答案为：y²=

16 3

3

x．

点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查点到直线的距离公式和离心率的运用，考查运算能力，属于基础题．