Question

对于曲线y=f（x），若存在直线l使得曲线y=f（x）位于直线l的同一侧，则称曲线y=f（x）为半面曲线，下列曲线中是半面曲线的序号为

 

．（填上所有正确的序号）
①y=

1

x

 ②y=x³  ③y=x⁴+x³ ④y=x+

1

x

 ⑤y=1-x²+xsinx．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：根据新定义，关键是判断每个函数是否有最值，通过最值即可判断是否存在直线I使得曲线 y=f（x）位于直线l的同一侧，则称曲线y=f（x）为半面曲线

解答： 解：①y=

1

x

的定义域为和值域均为（-∞，0）∪（0，+∞）无最大值或最小值，故不存在
②y=x³的定义域为和值域均为R，无最大值或最小值，故不存在
③∵y=x⁴+x³，y′=4x³+3x²=x²（4x+3），
令y′=0，解得x=0，或x=-

3

4

，
当y′＞0，即x＞-，函数单调递增，
当y′＜0，即x＞-

3

4

，函数单调递减，
故当x=-

3

4

，函数有最小值，
故存在直线I使得曲线 y=f（x）位于直线l的同一侧
④y=x+

1

x

无最大值或最小值，故不存在
⑤y=1-x²+xsinx，
当x趋向于无穷时，y的值趋向于负无穷，
当x趋向于0时，y=1，
故函数y=1-x²+xsinx，有最大值，
故存在直线I使得曲线 y=f（x）位于直线l的同一侧
函数的图象如图所示

故答案为：③⑤

点评：本题考查了新定义，主要是求出函数的最值，属于中档题