Question

【题目】已知四边形为矩形，，E为的中点，将沿折起，连接，，得到四棱锥，M为的中点，与平面所成角为，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是________．

①平面；

②三棱锥的体积最大值为；

③点M的轨迹是圆的一部分，且；

④一定存在某个位置，使；

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

取的中点N，连接MN、EN，根据四边形MNEB为平行四边形判断①③正确；当平面平面时，三棱锥的体积取最大值，经过计算得出②正确；假设，得出矛盾结论判断④不正确.

①项，取的中点N，连接MN、EN，

则MN为的中位线，，且

又E为矩形ABCD的边AB的中点，，且

，且，即四边形MNEB为平行四边形，

，

又平面，平面，

平面，故①正确；

②项，由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，

当平面平面时，三棱锥的体积取最大值，

取DE的中点O，则，且，

∵平面平面，平面平面，，

∴平面,

的面积为：，

∴三棱锥的体积的最大值为

则三棱锥的体积的最大值为，故②项正确；

③项，由四边形MNEB为平行四边形可得，

而在翻折过程中，NE的长度保持不变，故BM的长为定值，

为直角三角形，90°，，

，故③正确；

④项，取DE的中点O，连接，CO，

由可知，

若，则平面，

，又，

为等腰直角三角形，

故而，而，，与矛盾，

故DE与所成的角不可能为，故④不正确.

故答案为：①②③.