Question

设F为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过原点的直线与该双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，且

AF

•

BF

=0，若∠ABF=

π

6

，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  6

• D、

  3

  +1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由

AF

•

BF

=0，∠ABF=

π

6

，则△ABF为直角三角形，且AB=2AF，由于OA=OB=OF=c，且∠BAF=60°，则三角形OAF为等边三角形，可设A在第一象限，则A（

c

2

，

3 c

2

），代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．

解答： 解：由

AF

•

BF

=0，∠ABF=

π

6

，
则△ABF为直角三角形，且AB=2AF，
由于OA=OB=OF=c，
且∠BAF=60°，
则三角形OAF为等边三角形，
可设A在第一象限，则A（

c

2

，

3 c

2

），
代入双曲线方程可得，

c2

4a2

-

3c2

4b2

=1，即为

c2

4a2

-

3c2

4(c2-a2)

=1，
即有

1

4

e²-

3

4

•

e2

e2-1

=1，
解得e²=4+2

3

或4-2

3

（由e＞1，舍去），
则e=1+

3

．
故选D．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，重点考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．