Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦点F（-c，0）（c＞0），过点F作圆：x2+y2=

b2

4

的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若|FE|=|EP|，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  10

• B、

  5

• C、

  10

  2

• D、

  5

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线的右焦点为F'，由中位线定理和圆的切线的性质，可得|PF'|=2|OE|=b，且PF⊥PF'，由勾股定理和双曲线的定义，可得b=2a，再由离心率公式计算即可得到．

解答： 解：设双曲线的右焦点为F'，
过点F作圆：x2+y2=

b2

4

的切线，切点为E，
则|OE|=

b

2

，OE⊥PF，
由于|FE|=|EP|，
∴E为PF的中点，
则|PF'|=2|OE|=b，
且PF⊥PF'，
∴|PF|²=|FF'|²-|PF'|²=4c²-b²，
由双曲线的定义可得|PF|-|PF'|=2a，
即有|PF|=2a+b，
∴4c²-b²=（2a+b）²，
且c²=a²+b²，
化简得b=2a，
∴c=

a2+b2

=

5

a，
∴e=

c

a

=

5

．
故选B．

点评：本题考查了双曲线的方程和性质：离心率，同时考查了双曲线的定义，属于中档题．