Question

若在给定条件下，数列{a_n}每一项的值都是唯一确定的，则称该数列是“确定的”．现给出下列各组条件：
①{a_n}是等差数列，且S₁=a，S₂=b
②{a_n}是等比数列，且S₁=a，S₂=b
③{a_n}是等比数列，且S₁=a，S₃=b
④{a_n}满足a_2n+2=a_2n+a，a_2n+1=a_2n-1+b（n∈N^*），a₁=c
（其中S_n是{a_n}的前n项和，a、b、c为常数），
则数列{a_n}为“确定的”数列的是

 

．（写出所有你认为正确的序号）

Answer 1

考点：数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：①设等差数列{a_n}的公差为d，且S₁=a，S₂=b，则

a1=a a1+a2=b

，解出公差d即可判断出；
②设等比数列{a_n}的公比为q，且S₁=a，S₂=b，则

a1=a a1+a1q=b

，解得公比q即可判断出．
③设等比数列{a_n}的公比为q，由于S₁=a，S₃=b，可得a+aq+aq²=b，化为q2+q+1-

b

a

=0，只有△≥0时，才能得出q，因此该数列不是“确定的”．
④{a_n}满足a_2n+2=a_2n+a，a_2n+1=a_2n-1+b（n∈N^*），a₁=c，可得该数列的偶数项成等差数列，公差为b，但是没有给出a₂；因此该数列不是“确定的”．

解答： 解：①设等差数列{a_n}的公差为d，且S₁=a，S₂=b，则

a1=a a1+a2=b

，可得a₂=b-a，∴公差d=a₂-a₁=b-2a，可得a_n=a+（n-1）（b-2a），因此该数列是“确定的”．
②设等比数列{a_n}的公比为q，且S₁=a，S₂=b，则

a1=a a1+a1q=b

，解得a₁=a，q=

b

a

-1，因此an=a(

b

a

-1)n-1，因此该数列是“确定的”．
③设等比数列{a_n}的公比为q，且S₁=a，S₃=b，则a₁=a，a+aq+aq²=b，化为q2+q+1-

b

a

=0，只有△=1-4(1-

b

a

)≥0时，才能得出q，因此该数列不是“确定的”．
④{a_n}满足a_2n+2=a_2n+a，a_2n+1=a_2n-1+b（n∈N^*），a₁=c，可得该数列的偶数项成等差数列，公差为b，但是没有给出a₂；奇数项成等差数列，首项为c，公差为b；
因此该数列不是“确定的”．
故答案为：①②．

点评：本题考查了“新定义”、等差数列与等比数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．