Question

6．已知△ABC中，$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{BC}$（0＜λ＜1），cosC=$\frac{3}{5}$，cos∠ADC=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
（1）求∠CAD的大小；
（2）若AC=7，BD=10，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）△ACD中，cosC=$\frac{3}{5}$，cos∠ADC=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．可得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$，sin∠∠ADC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ADC}$．cos∠CAD=-cos（∠C+∠ADC），展开代入即可得出．
（2）在△ACD中，由正弦定理可得：$\frac{AD}{sinC}$=$\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\frac{DC}{sin∠CAD}$，可得AD，DC，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵△ACD中，cosC=$\frac{3}{5}$，cos∠ADC=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{4}{5}$，sin∠∠ADC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ADC}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
cos∠CAD=cos（π-∠C-∠ADC）=-cos（∠C+∠ADC）=-cosCcos∠ADC+sinCsin∠ADC=-$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{10}$+$\frac{4}{5}×\frac{7\sqrt{2}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠CAD=$\frac{π}{4}$．
（2）在△ACD中，由正弦定理可得：$\frac{AD}{sinC}$=$\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\frac{DC}{sin∠CAD}$，∴AD=$\frac{7×\frac{4}{5}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}$=4$\sqrt{2}$，DC=$\frac{7×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}$=5．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}CA•CBsinC$=$\frac{1}{2}×7×15×\frac{4}{5}$=42．

点评 本题考查了正弦定理、和差化积、三角形面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．