Question

6．已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，公差为d，且S₂₀₁₅＞S₂₀₁₆＞S₂₀₁₄，下列五个命题：
①d＞0 ②S₄₀₂₉＞0 ③S₄₀₃₀＜0 ④数列{S_n}中的最大项为S₄₀₂₉，其中正确命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 推导出等差数列的前2015项和最大，a₁＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，由S₂₀₁₆＞S₂₀₁₄，得S₂₀₁₆-S₂₀₁₄=a₂₀₁₆+a₂₀₁₅＞0，由此求出S₄₀₂₉＞0，S₄₀₃₀＞0．

解答 解：∵S_n是等差数列{a_n}的前n项和，公差为d，且S₂₀₁₅＞S₂₀₁₆＞S₂₀₁₄，
∴等差数列的前2015项和最大，∴a₁＞0，d＜0，
且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，故①和④错误；
再由S₂₀₁₆＞S₂₀₁₄，
得S₂₀₁₆-S₂₀₁₄=a₂₀₁₆+a₂₀₁₅＞0，
S₄₀₂₉=$\frac{4029}{2}$（a₁+a₄₀₂₉）=$\frac{4029}{2}$×2a₂₀₁₅＞0，故②正确；
S₄₀₃₀=$\frac{4030}{2}（{a}_{1}+{a}_{4030}）$=2015（a₂₀₁₅+a₂₀₁₆）＞0，故③错误．
故选：A．

点评 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．