Question

3．设函数f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1
（1）求f（x）的最小值．
（2）若数列{a_n}满足，a₁=1，a_n+1=f（a_n）+2（n∈N^*），证明：2＜a_n＜3（n≥3，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）推导出x＞0，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，由此利用导数性质能求出f（x）的最小值．
（2）推导出${a}_{n+1}=ln{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}+1$，首先证明a_n+1≥a_n成立，再由a₃=ln2+2＞2，得到当n≥3时，a_n≥a₃＞2，再由${a}_{n}-ln{a}_{n}-\frac{1}{{a}_{n}}$≤1，设h（x）=x-lnx-$\frac{1}{x}$，则${h}^{'}（x）=1-\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}}$＞0在（0，+∞）上恒成立，从而h（x）在（0，+∞）上单调递增，从而a₃＜3，由此能证明2＜a_n＜3（n≥3，n∈N^*）．

解答 解：（1）∵函数f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，
∴x＞0，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴f（x）的减区间是（0，1），增区间是（1，+∞）．
∴f（x）的最小值f（x）_min=f（1）=ln1+1-1=0．
证明：（2）∵数列{a_n}满足，a₁=1，a_n+1=f（a_n）+2（n∈N^*），
∴${a}_{n+1}=ln{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}+1$，
首先证明a_n+1≥a_n成立，
当n=1时，a₁=1，a₂=ln1+1+1=2，a_n+1≥a_n成立，
假设a_n≥a_n-1≥a_n-2≥…≥a₁成立，
由（1）得当x≥1时，f（x）单调递增，
则a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n+1）≥0，
∴a_n+1≥a_n成立，
∵a₃=ln2+2＞2，∴当n≥3时，a_n≥a₃＞2，
∵a_n=f（a_n-1）+2≤f（a_n）+2，
∴${a}_{n}-ln{a}_{n}-\frac{1}{{a}_{n}}$≤1，
设h（x）=x-lnx-$\frac{1}{x}$，则${h}^{'}（x）=1-\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}}$＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵h（3）=3-ln3-$\frac{1}{3}＞1$，∴h（3）＞h（a_n），∴a₃＜3．
综上：2＜a_n＜3（n≥3，n∈N^*）．

点评 本题考查函数的最小值的求法，考查数列不等式的证明，考查函数的最值、导数性质、构造法、数列不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．