Question

6．已知函数f（x）=ax²-x，若对任意x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，不等式$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 对不等式$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$进行化简，转化为a（x₁+x₂）-1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a＞$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$恒成立，从而将恒成立问题转变成求$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$的最大值，即可求出a的取值范围．

解答 解：不妨设x₂＞x₁≥2，不等式$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{a{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}-a{{x}_{2}}^{2}+{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
=$\frac{a（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）-（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=a（x₁+x₂）-1，
∵对任意x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，不等式$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，
∴x₂＞x₁≥2时，a（x₁+x₂）-1＞0，即a＞$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$恒成立
∵x₂＞x₁≥2
∴$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜$\frac{1}{4}$
∴a≥$\frac{1}{4}$，即a的取值范围为[$\frac{1}{4}$，+∞）；
故答案为：[$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，注意运用参数分离．