Question

已知O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，若

AO

=x

AB

+y

AC

，且2x+10y=5，则△ABC的面积为（　　）

• A、24
• B、

  20 2

  3

• C、18或

  20 2

  3

• D、24或20

  2

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：取AC中点为D，则OD⊥AC，把写为

AO

=

AD

+

DO

，然后用两种方法写出，由数量积相等结合2x+10y=5，需要分类讨论，当x≠0求得cos∠BAC，进一步得到其正弦值，代入三角形的面积公式求得三角形ABC的面积，当x=0时，得到三角形为直角三角形，求出面积，问题得以解决

解答： 解：取AC的中点，则OD⊥AC，

DO

⊥

.

AC

如图所示∵

AO

=

AD

+

DO

，
∴

AO

•

AC

=

AD

•

AC

+

DO

•

AC

=|

AD

|•|

AC

|COS0=5×10=50，
∵

AO

=x

AB

+y

AC

，
∴

AO

•

AC

=（x

AB

+y

AC

）•

AC

=x

AB

•

AC

+y|

AC

|2=x|

AB

||

AC

|cos∠BAC+y|

AC

|2=60x•cos∠BAC+100y，
∴60x•cos∠BAC+100y=50
∵2x+10y=5，
∴60xcos∠BAC=20x，
当x≠0时，
∴cos∠BAC=

1

3

，
∴sin∠BAC=

2 2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC•sin∠BAC=

1

2

×6×10×

2 2

3

=20

2

当x=0时，则y=

1

2

，
∴

AO

=0

AB

+

1

2

AC

，
∴

AO

=

1

2

AC

，
∴点A，0，C共线，
∴即点O为AC的中点，
∴三角形ABC以B为直角的直角三角形，
∴BC=

AC2-AB2

=

102-62

=8，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×6×8=24
故选：D

点评：本题考查了向量在几何中的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．