Question

抛物线的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，抛物线上一点的横坐标为2，且该点到焦点的距离为2．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）与圆x²+（y+1）²=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足

OC

=λ（

OM

+

ON

）（λ＞0），求λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意，设抛物线方程为x²=2py，由该点到焦点的距离为2可得

2

p

+

p

2

=2，从而求P；
（2）由题意可得

|1+t|

k2+1

=1，可化为k²=2t+t²，由直线方程与抛物线联立可得△=k²+t＞0…（2），从而求t的取值范围，进而由韦达定理可得λ=1+

1

4+2t

；从而求λ的取值范围．

解答： 解：（1）由题意，设抛物线方程为x²=2py，
则当x=2时，y=

2

p

，
则由该点到焦点的距离为2可得，

2

p

+

p

2

=2，
解得p=2．
故抛物线方程为x²=4y；
（2）由题意可得，

|1+t|

k2+1

=1
∴k²=2t+t²…（1），
∵

y=kx+t x2=4y

，
∴x²-4kx-4t=0，
△=k²+t＞0…（2），
由（1）（2）可知，t∈（-∞，-3）∪（0，+∞）；
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），C（x，y）；
则

x1+x2=4k x1•x2=-4t∴y1+y2=4k2+2t

，
∴

x=λ(x1+x2) y=λ(y1+y2)

，
则λ²(x1+x2)2=4λ（y₁+y₂）；
即λ=1+

1

4+2t

；
∴λ∈（

1

2

，1）∪（1，

5

4

）．

点评：本题考查了圆锥曲线的方程的求法及圆锥曲线与直线的运算，属于难题．