Question

如图，已知三棱柱BCF-ADE的侧面CFED与ABFE都是边长为1的正方形，M、N两点分别在AF和CE上，且AM=EN．
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求证：MN∥平面BCF；
（3）若点N为EC的中点，点P为EF上的动点，试求PA+PN的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）四边形CFED与ABFE都是正方形，利用线面垂直可得EF⊥平面ADE，再根据EF∥AB，得出AB⊥平面ADE，最后利用面面垂直的判定得出结论；
（2）证法一：过点M作MM₁⊥BF交BF于M₁，过点N作NN₁⊥CF交BF于N₁，连结M₁N₁，先证得四边形MNN₁M₁为平行四边形，得MN∥N₁M₁，再根据线面平行的判定得到MN∥面BCF．
法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连结NG，得出平面MNG∥平面BCF，最后利用面面平行的性质得出MN∥面BCF；
（3）将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小．通过解△AEN，利用余弦定理求出AN即可．
解答：解：（1）∵四边形CFED与ABFE都是正方形
∴EF⊥DE，EF⊥AE，又DE∩EA=E，∴EF⊥平面ADE，---------------（2分）
又∵EF∥AB，∴AB⊥平面ADE
∵AB?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE-------------------------（4分）
（2）证法一：过点M作MM₁⊥BF交BF于M₁，
过点N作NN₁⊥CF交BF于N₁，连结M₁N₁，------------（5分）
∵MM₁∥AB，NN₁∥EF∴MM₁∥NN₁
又∵，
∴MM₁=NN₁--------------------------------（7分）
∴四边形MNN₁M₁为平行四边形，----------------------（8分）
∴MN∥N₁M₁，又MN?面BCF，N₁M₁?面BCF，∴MN∥面BCF．-（10分）
[法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连结NG，则，∴NG∥CF-------------（6分）
又NG?面BCF，CF?面BCF，∴NG∥面BCF，------------（7分）
同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF--------（9分）
∵MN?平面MNG，∴MN∥面BCF．--------------------------------------------（10分）]
（3）如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点
A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小，------------------------------------（11分）
在△AEN中，∵
由余弦定理得AN²=AE²+EN²-2AE•ENcos135°，------（13分）
∴，
即．-----------------------（14分）
点评：本小题考查空间中的线面关系及面面关系，点、线、面间的距离计算、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力．