Question

10．已知${1^3}+{2^3}=（\frac{6}{2}{）^2}，{1^3}+{2^3}+{3^3}=（\frac{12}{2}{）^2}，{1^3}+{2^3}+{3^3}+{4^3}=（\frac{20}{2}{）^2}，…$，若1³+2³+3³+4³+…+n³=3025，则n=（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 观察已知的等式，发现：等式的左边是连续自然数的立方和，等式的右边是连续自然数的和的平方．

解答 解：∵1³+2³=（$\frac{6}{2}$）²=（$\frac{2×3}{2}$）²，
1³+2³+3³=（$\frac{12}{2}$）²=（$\frac{3×4}{2}$）²，
1³+2³+3³+4³=（$\frac{20}{2}$）²=（$\frac{4×5}{2}$）²，
…
∴1³+2³+3³+…+n³=（$\frac{n（n+1）}{2}$）²=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$，
∵1³+2³+3³+4³+…+n³=3025，
∴$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$=3025，
∴n²（n+1）²=（2×55）²，
∴n（n+1）=110，
解得n=10，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是归纳推理，此题能够分别观察等式的左边和右边，正确找到左右两边之间的联系，是解答的关键．