Question

5．已知函数f（x）=|x-a|+|x+a|．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＞6；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a²-1有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）讨论x的范围，去绝对值符号解出；
（II）利用绝对值不等式的性质求出f_min（x），令f_min（x）＜a²-1解出．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，$f（x）=|{x-2}|+|{x+2}|=\left\{\begin{array}{l}2x，x＞2\\ 4，-2≤x≤2\\-2x，x＜-2\end{array}\right.$．
当x＞2时，可得2x＞6，解得x＞3．
当-2≤x≤2时，因为4＞6不成立，故此时无解；
当x＜-2时，由-2x＞6得，x＜-3，故此时x＜-3．
综上所述，不等式f（x）＞6的解集为（-∞，-3）∪（3，+∞）．
（Ⅱ）∵f（x）=|x-a|+|x+a|≥|x-a-x-a|=|2a|，
要使关于x的不等式f（x）＜a²-1有解，只需|2a|＜a²-1即可．
当a≥0时，2a＜a²-1，解得$a＞1+\sqrt{2}$，或$a＜1-\sqrt{2}$（舍去）；
当a＜0时，-2a＜a²-1，解得$a＞-1+\sqrt{2}$（舍去），或$a＜-1-\sqrt{2}$；
所以，a的取值范围为$（-∞，-1-\sqrt{2}）∪（1+\sqrt{2}，+∞）$．

点评 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想等．