Question

20．已知函数f（x）=2|x+a|+|x-$\frac{1}{a}$|（a≠0）．
（1）当a=1时，解不等式f（x）＜4；
（2）求函数g（x）=f（x）+f（-x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）对x的范围进行讨论，去绝对值符号解出；
（2）利用绝对值不等式的性质和基本不等式得出最小值．

解答 解：（1）∵a=1，∴原不等式为2|x+1|+|x-1|＜4，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-2x-2-x+1＜4}\end{array}}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{2x+2-x+1＜4}\end{array}}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞1}\\{2x+2+x-1＜4}\end{array}}\right.$
解得$-\frac{5}{3}＜x＜-1$或-1≤x＜1或无解，
∴原不等式的解集为$（-\frac{5}{3}，1）$．
（2）g（x）=f（x）+f（-x）=$2（|x+a|+|x-a|）+（|x+\frac{1}{a}|+|x-\frac{1}{a}|）$
$≥2|2a|+\frac{2}{|a|}=4|a|+\frac{2}{|a|}$$≥4\sqrt{2}$，
当且仅当$2|a|=\frac{1}{|a|}$，即$a=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且（x+a）（x-a）＜0，（x+$\frac{1}{a}$）（x-$\frac{1}{a}$）＜0时取等号，
∴g（x）的最小值为$4\sqrt{2}$．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，属于中档题．