Question

20．如图，在正三棱锥A-BCD中，AB=$\sqrt{5}$，点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．
（1）求异面直线AE与CD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）求正三棱锥A-BCD的表面积．

Answer 1

分析 （1）作出棱锥的高，利用勾股定理和等边三角形的性质计算底面边长，再计算斜高，利用余弦定理求出要求角的余弦值；
（2）直接代入面积公式计算即可．

解答 解：（1）作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为等边三角形△ABC的中心，AO=1，
连结OB，则OB=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=2，
设△ABC的边长为a，则OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$=2，
∴a=2$\sqrt{3}$．
连结OE，则OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{3}$=1，
取BD的中点F，连结EF，AF．则EF∥CD，EF=$\frac{1}{2}$a=$\sqrt{3}$，
∴∠AEF是异面直线AE与CD所成角，
∵AE=AF=$\sqrt{A{O}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴cos∠AEF=$\frac{A{E}^{2}+E{F}^{2}-A{F}^{2}}{2AE•EF}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴异面直线AE与CD所成角为arccos$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
（2）三棱锥的表面积S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{2}×3$+$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×sin60°$=3$\sqrt{6}$+3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了棱锥的结构特征，线面角的计算，棱锥的表面积计算，属于中档题．