Question

在△ABC所在的平面内，点P₀、P满足

P0B

=

1

4

AB

，

PB

=λ

AB

，且对于任意实数λ，恒有

PB

?

PC

≥

P0B

?

P0C

，则（　　）

• A、∠ABC=90°
• B、∠BAC=90°
• C、AC=BC
• D、AB=AC

Answer 1

分析：由题意可得 P₀、P、A、B 四点共线，以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），根据恒有

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

，可得x²-4（a+1）x+a+1≥0 恒成立，由判别式△≤0，解得a=0，可得点C在AB的垂直平分线上，从而得出结论．

解答：解：∵

P0B

=

1

4

AB

，

PB

=λ

AB

，
∴P₀、P、A、B 四点共线，
以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），
则A（-2，0），B（2，0），P₀（1，0），
∵恒有

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

，
∴（2-x）（a-x）≥a-1，
即 x²-4（a+1）x+a+1≥0 恒成立，
∴判别式△=（a+2）²-4（a+1）≤0，
解得a²≤0，∴a=0，
即点C在AB的垂直平分线上，∴CA=CB，
故选：C．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．