Question

5．在直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以线段AB为直径的圆C与直线x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为（　　）

• A． 4π
• B． 2π
• C． π
• D． $\frac{1}{2}$π

Answer 1

分析 由O向直线x+y-4=0做垂线，垂足为D，当D恰为圆与直线的切点时，圆C的半径最小，此时圆的直径为O（0，0）到直线x+y-4=0的距离，由此能求出圆C面积最小值．

解答 解：∵AB为直径，∠AOB=90°，
∴O点必在圆C上，
由O向直线x+y-4=0做垂线，垂足为D，
则当D恰为圆与直线的切点时，圆C的半径最小，
此时圆的直径为O（0，0）到直线x+y-4=0的距离d=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴此时圆的半径r=$\sqrt{2}$，
∴圆C面积最小值S_min=πr²=2π．
故选：B．

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题．