Question

17．（1）已知x＞1，求3x+$\frac{4}{x-1}$+1的最小值；
（2）已知0≤x≤2，求函数f（x）=$\sqrt{x（4-2x）}$的最值．

Answer 1

分析 （1）根据基本不等式的性质求出最小值即可；
（2）根据二次函数的性质求出函数的范围即可．

解答 解：（1）∵x＞1，∴x-1＞0，
∴3x+$\frac{4}{x-1}$+1=3（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+4≥2$\sqrt{3（x-1）•\frac{4}{x-1}}$+4=4$\sqrt{3}$+4，
当且仅当3（x-1）=$\frac{4}{x-1}$时“=”成立，
故3x+$\frac{4}{x-1}$+1的最小值是：4$\sqrt{3}$+4；
（2）令g（x）=x（4-2x）=-2（x-1）²+2，x∈[0，2]，
对称轴x=1，g（x）在[0，1）递增，在（1，2]递减，
∴g（x）_max=g（1）=2，g（x）_min=g（0）=g（2）=0，
∴0≤f（x）≤$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查二次函数的性质，是一道基础题．