Question

已知函数，其中是自然对数的底数.
（1）求函数的零点；
（2）若对任意均有两个极值点，一个在区间内，另一个在区间外，
求的取值范围；
（3）已知且函数在上是单调函数，探究函数的单调性.

Answer 1

（1）① 当时，函数有1个零点：    ② 当时，函数有2个零点：  ③ 当时，函数有两个零点：  ④ 当时，函数有三个零点：（2）（3）探究详见解析.

解析试题分析：（1）令n=1，n=2，求出g（x）的表达式，在分类求出g（x）=0的解即可.
（2）对函数求导，，对其分母构造函数，则=0由有一根在内，另一个在区间外，可得,即,解出a即可.
（3）由（2）可知存在 ，结合已知条件，可得函数在上是单调减函数, 所 的分子的值小于等于0，其相应的判别式小于等于0，在结合已知可证得即可.
试题解析：（1），

① 当时，函数有1个零点：                1分
② 当时，函数有2个零点：           2分
③ 当时，函数有两个零点：            3分
④ 当时，函数有三个零点：
                      4分
（2）      5分
设，的图像是开口向下的抛物线.
由题意对任意有两个不等实数根，
且
则对任意,即,         7分
又任意关于递增,,
故
所以的取值范围是                             9分
（3）由(2)知, 存在，又函数在上是单调函数，故函数在上是单调减函数,                10分
从而即     11分
所以
由知                           13分
即对任意<