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已知函数(其中,e是自然对数的底数).
(Ⅰ)若,试判断函数在区间上的单调性;
(Ⅱ)若,当时,试比较与2的大小;
(Ⅲ)若函数有两个极值点),求k的取值范围,并证明

(Ⅰ)函数在区间上是单调递减函数;(Ⅱ)
(Ⅲ)实数k的取值范围是;证明详见解析.

解析试题分析:(Ⅰ)求导,根据其符号即可得其单调性;(Ⅱ)当时,,通过导数可得其范围,从而得出与2的大小;(Ⅲ)函数有两个极值点,则的两个根,即方程有两个根.接下来就研究函数图象特征,结合图象便可知取何值时,方程有两个根.

结合图象可知,函数的两个极值点满足.
,这里面有两个变量,那么能否换掉一个呢?
,得,利用这个关系式便可将换掉而只留
,这样根据的范围,便可得,从而使问题得证.
试题解析:(Ⅰ)由可知,当时,由于
故函数在区间上是单调递减函数. 3分
(Ⅱ)当时,,则,  4分

由于,故,于是为增函数, 6分
所以,即恒成立,
从而为增函数,故. 8分
(Ⅲ)函数有两个极值点,则的两个根,
即方程有两个根,设,则
时,,函数单调递增且
时,,函数单调递增且
时,,函数单调递减且
要使有两个根,只需
故实数k的取值范围是. 10分
又由上可知函数的两个极值点

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线平行,求实数的值;
(Ⅱ)若函数处取得极小值,且,求实数的取值范围.

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已知函数,其中是自然对数的底数.
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(2)若对任意均有两个极值点,一个在区间内,另一个在区间外,
的取值范围;
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(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个不同的零点
(Ⅰ)求实数的取值范围;
(Ⅱ)求证:.(注:为自然对数的底数)

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(13分)已知函数
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性.

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已知函数,其中,曲线在点处的切线垂直于轴.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数的极值.

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已知函数,其中
(Ⅰ) 当,求函数的单调递增区间;
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(Ⅲ)设函数 (是自然对数的底数),是否存在a使上为减函数,若存在,求实数a的范围;若不存在,请说明理由.

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已知函数的图象在上连续,定义:.其中,表示函数上的最小值,表示函数上的最大值.若存在最小正整数,使得对任意的成立,则称函数上的“阶收缩函数”.
(Ⅰ)若,试写出的表达式;
(Ⅱ)已知函数,试判断是否为上的“阶收缩函数”.如果是,求出对应的;如果不是,请说明理由;
(Ⅲ)已知,函数上的2阶收缩函数,求的取值范围.

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