已知函数(其中,e是自然对数的底数).
(Ⅰ)若,试判断函数在区间上的单调性;
(Ⅱ)若,当时,试比较与2的大小;
(Ⅲ)若函数有两个极值点,(),求k的取值范围,并证明.
(Ⅰ)函数在区间上是单调递减函数;(Ⅱ);
(Ⅲ)实数k的取值范围是;证明详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)求导,根据其符号即可得其单调性;(Ⅱ)当时,,通过导数可得其范围,从而得出与2的大小;(Ⅲ)函数有两个极值点,,则,是的两个根,即方程有两个根.接下来就研究函数图象特征,结合图象便可知取何值时,方程有两个根.
结合图象可知,函数的两个极值点,满足.
,这里面有两个变量,那么能否换掉一个呢?
由,得,利用这个关系式便可将换掉而只留:
,这样根据的范围,便可得,从而使问题得证.
试题解析:(Ⅰ)由可知,当时,由于,,
故函数在区间上是单调递减函数. 3分
(Ⅱ)当时,,则, 4分
令,,
由于,故,于是在为增函数, 6分
所以,即在恒成立,
从而在为增函数,故. 8分
(Ⅲ)函数有两个极值点,,则,是的两个根,
即方程有两个根,设,则,
当时,,函数单调递增且;
当时,,函数单调递增且;
当时,,函数单调递减且.
要使有两个根,只需.
故实数k的取值范围是. 10分
又由上可知函数的两个极值点
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,其中是自然对数的底数.
(1)求函数的零点;
(2)若对任意均有两个极值点,一个在区间内,另一个在区间外,
求的取值范围;
(3)已知且函数在上是单调函数,探究函数的单调性.
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已知函数f(x)=在x=0,x=处存在极值。
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)函数y=f(x)的图象上存在两点A,B使得△AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在y轴上,求实数c的取值范围;
(Ⅲ)当c=e时,讨论关于x的方程f(x)=kx(k∈R)的实根个数。
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已知函数,,其中且.
(Ⅰ) 当,求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)若时,函数有极值,求函数图象的对称中心的坐标;
(Ⅲ)设函数 (是自然对数的底数),是否存在a使在上为减函数,若存在,求实数a的范围;若不存在,请说明理由.
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已知函数的图象在上连续,定义:,.其中,表示函数在上的最小值,表示函数在上的最大值.若存在最小正整数,使得对任意的成立,则称函数为上的“阶收缩函数”.
(Ⅰ)若,试写出,的表达式;
(Ⅱ)已知函数,试判断是否为上的“阶收缩函数”.如果是,求出对应的;如果不是,请说明理由;
(Ⅲ)已知,函数是上的2阶收缩函数,求的取值范围.
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