Question

10．如图，四棱锥P-ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=4，AB=1，BC=2，过A作AM⊥PC交PC于M．
（1）判断AM与平面PCD是否垂直，并说明理由；
（2）AM与平面PBC所成的角是否大于30°？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可以采用反证法：假设AM与平面PCD垂直，那么AM⊥CD，那么CD垂直于平面PAC，CD⊥AC，事实通过勾股定理得出AC和CD是不垂直的，
（2）首先证明AN垂直于平面PBC，然后求出AM和AN的长度，求出线面夹角可得答案．

解答 解：（1）AM与平面PCD不垂直，理由如下：
假设AM⊥平面PCD，
∵CD?平面PCD，
∴AM⊥CD，
又∵PA⊥底面ABCD，CD?⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，
又由PA∩AM=A，PA，AM?平面PAC，
∴CD⊥平面PAC，
又∵AC?平面PAC，
∴CD⊥AC，
在直角梯形ABCD中，AD=4，AB=1，BC=2，AB⊥AD，
故AC=CD=$\sqrt{5}$，由勾股定理得出AC和CD是不垂直的，
故假设不成立，
即AM与平面PCD不垂直；
（2）AM与平面PBC所成的角小于30°，理由如下：
过A作AN⊥PB，垂足为N，
又∵PA⊥底面ABCD，BC?⊥底面ABCD，
∴PA⊥BC，
在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，
又由PA∩AB=A，PA，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
又∵AN?平面PAB，
∴BC⊥AN，
∵PB∩BC=B，PB，BC?平面PBC，
∴AN⊥平面PBC，
∵PA=AD=4，AB=1，BC=2，
∴AN=$\frac{4}{\sqrt{17}}$，AM=$\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{21}}$，

设AM与平面PBC所成的角为α，则cosα=$\frac{AN}{AM}$=$\sqrt{\frac{21}{85}}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故AM与平面PBC所成的角小于30°．

点评 本题考查的知识点是空间线面垂直与线线垂直的判断与证明，求二面角，是立体几何知识的简单综合应用，难度中档．