Question

函数f（x）是R上的增函数，且f（sinω）+f（-cosω）＞f（cosω）+f（-sinω），其中ω是锐角，并且使得函数g（x）=sin（ωx+

π

4

）在（

π

2

，π）内单调递减，则ω的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：sinω与cosω的关系要么sinω＞cosω，要么sinω≤cosω，根据已知条件容易判断出sinω＞cosω，由ω为锐角便得到

π

4

＜ω＜

π

2

．而由g（x）在(

π

2

，π)单调递减便得到g′（x）=ωcos(ωx+

π

4

)≤0在（

π

2

，π）内恒成立，所以得到cos（ωx+

π

4

）≤0，在（

π

2

，π）上恒成立，所以函数cos（ωx+

π

4

）的周期

2π

ω

≥π，所以

π

4

＜ω≤2．根据此时的ω范围可得到ω只需再满足πω+

π

4

≤

3π

2

，解得ω≤

5

4

，所以最后得到ω的范围是（

π

4

，

5

4

]．

解答： 解：①若sinω＞cosω，则-cosω＞-sinω；
∵f（x）是R上的增函数；
∴f（sinω）＞f（cosω），f（-cosω）＞f（-sinω）；
∴符合f（sinω）+f（-cosω）＞f（cosω）+f（-sinω）；
∵ω是锐角；
∴

π

4

＜ω＜

π

2

；
②若sinω≤cosω，则-cosω≤-sinω；
∴f（sinω）+f（-cosω）≤f（cosω）+f（-sinω），显然与已知矛盾，即这种情况不存在；
g′（x）=ωcos（ωx+

π

4

）；
∴由已知条件知，cos（ωx+

π

4

）≤0在x∈(

π

2

，π)上恒成立；
∴函数cos（ωx+

π

4

）的周期

2π

ω

≥2•(π-

π

2

)=π；
∴ω≤2；
∴

π

4

＜ω≤2；
由

π

2

＜x＜π得，

πω

2

+

π

4

＜ωx+

π

4

＜πω+

π

4

；
∴

π 2 ≤ πω 2 + π 4 πω+ π 4 ≤ 3π 2

，解得：

1

2

≤ω≤

5

4

；
∴

π

4

＜ω≤

5

4

；
∴ω的取值范围是(

π

4

，

5

4

]．
故答案为：（

π

4

，

5

4

]．

点评：考查增函数的定义，x是锐角时，满足sinx＞cosx的x的范围的求解，三角函数函数周期的定义及求法，以及函数单调性和函数导数符号的关系．