Question

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；
（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e）上的最小值为-2，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出f（1）及f′（1）的值，然后代入点斜式方程即可得到曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；
（2）确定函数的定义域，求导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可求得函数的单调区间，从而可求出f（x）在区间[1，e）上的最小值，建立等式可求出所求．

解答：解：解：（1）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+

1

x

，
∵f′（1）=0，f（1）=-2，∴切线方程为：y=-2．                                     
（2）函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞）．
当a＞0时，f′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

2ax2-(a+2)x-1

x

（x＞0），
令f′（x）=0，即f′（x）=

(2x-1)(ax-1)

x

=0，
∴x=

1

2

或x=

1

a

，
当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
当1＜

1

a

＜e时，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)＜f(1)=-2，不合题意；
当

1

a

≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合题意，
故a的取值范围为[1，+∞）．

点评：本题考查了导数的几何意义，导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．属于中档题．