Question

5．已知把函数g（x）=2sin2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，在向上平移一个单位得到函数f（x）的图象．
（1）求f（x）的最小值及取最小值时x的集合；
（2）求f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]时的值域；
（3）若φ（x）=f（-x），求φ（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的最值求得f（x）的最小值及取最小值时x的集合．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]时的值域．
（3）求得φ（x）=-2sin（2x+$\frac{π}{3}$），再利用正弦函数的单调性求得该函数的增区间．

解答 解：（1）把函数g（x）=2sin2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移一个单位，
得到函数f（x）=2sin2（x-$\frac{π}{6}$）+1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1的图象．
故函数f（x）的最小值为-2+1=-1，此时，2x-$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即 x=kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得 2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈[1-$\sqrt{3}$，3]．
（3）φ（x）=f（-x）=2sin（-2x-$\frac{π}{3}$）+1=-2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，求得 kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，
可得φ（x）的单调增区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最值、单调性，正弦函数的定义域和值域，以及它的图象的对称性，属于中档题．