Question

【题目】在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD交于点G，M为棱BB1上一点．
（1）证明：EF∥平面 A1C1D；
（2）当B1M：MB的值为多少时，D1M⊥平面 EFB1 ， 证明之；
（3）求点D到平面 EFB1的距离．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，又AC∥A1C1，

∴EF∥A1C1，而AC平面 A1C1D，EF平面 A1C1D，∴EF∥平面AC1D1

（2）解：当B1M：MB=1时，D1M⊥平面EFB1，证明如下：

∵B1M：MB=1，∴A1M⊥B1E．

又A1D1⊥平面AA1BB1，∴A1D1⊥B1E，∴B1E⊥平面A1MD，∴B1E⊥D1M ①．

又EF⊥平面DD1B1B，∴EF⊥D1M ②，又EF∩B1E=E ③，

∴由①②③可得D1M⊥平面EFB1

（3）解：设点D到平面EFB1的距离d，∵ ，

∴ ，即 （ EFB1G ）= a（ EFDG），即dB1G=aDG，

∴d= a=a

【解析】（1）根据EF∥AC、AC∥A1C1 证得EF∥A1C1 ， 再利用直线和平面平行的判定定理证得平面 EF∥A1C1D．（2）当B1M：MB的值为1时，D1M⊥平面 EFB1 ． 先证明B1E⊥D1M，再证明EF⊥D1M，再结合EF∩B1E=E，从而证得D1M⊥平面 EFB1 ． （3）设点D到平面 EFB1的距离为d，根据 ，求得d的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．