Question

如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步(如由A到B)；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步(如由A到C)，当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步(如由A到D)．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．
(1)求质点P恰好返回到A点的概率；
(2)在质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的数学期望．

Answer 1

(1) P＝P₂＋P₃＋P₄＝＋＋＝.    
(2) Eξ＝2×＋3×＋4×＝. 

（1）由古典概型概率公式得投掷一次正方体玩具，每个数字在上底面的概率为P₁＝＝.再分析质点P恰好返回到A点共有三种情况，投掷两次质点P返回到A点，有(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果；投掷三次质点P返回到A点，有 (1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三种结果；投掷四次质点P返回到A点，只有 (1,1,1,1)．根据相互独立事件和互斥事件的概率公式求解；
（2）由（1）得随机变量ξ的值为2,3,4，分别求出对应的概率，根据期望公式计算得Eξ
(1)投掷一次正方体玩具，每个数字在上底面出现都是等可能的，其概率为P₁＝＝.
只投掷一次不可能返回到A点；若投掷两次质点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果，其概率为P₂＝()²×3＝；
若投掷三次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三种结果，其概率为P₃＝()³×3＝；
若投掷四次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1,1,1,1)．其概率为P₄＝()⁴＝.
所以，质点P恰好返回到A点的概率为：P＝P₂＋P₃＋P₄＝＋＋＝.      6分
(2)由(1)知，质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种情况，且ξ的可能取值为2,3,4，
则P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，
所以，Eξ＝2×＋3×＋4×＝.