Question

已知函数f（x）=

|lgx|，0＜x≤10 - 1 2 x+6，x＞10

，若函数y=f²（x）-2bf（x）+b-

2

9

有6个零点，则b的取值范围是（　　）

• A、[

  2

  3

  ，

  7

  9

  ）∪（

  2

  9

  ，

  1

  3

  ]
• B、（

  2

  3

  ，+∞）∪（-∞，

  1

  3

  ）
• C、（0，

  1

  3

  ）∪（

  2

  3

  ，1）
• D、（

  2

  9

  ，

  7

  9

  ）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，作出函数f（x）的图象，利用一元二次方程根的分布，建立不等式关系即可得到结论．

解答： 解：设t=f（x），则函数等价为y=g（t）=t²-2bt+b-

2

9

．
作出函数f（x）的图象如图：
当t＞1或t＜0时，t=f（x）有1个零点，
当t=1或t=0时，t=f（x）有2个零点，
当0＜t＜1时，t=f（x）有3个零点，
若函数y=f²（x）-2bf（x）+b-

2

9

有6个零点，等价为方程t²-2bt+b-

2

9

=0有两个根t₁，t₂，且0＜t₁＜1，0＜t₂＜1，
则

△=4b2-4(b- 2 9 )≥0 g(0)=b- 2 9 ＞0 g(1)=1-2b+b- 2 9 ＞0 0＜- -2b 2 ＜1

，即

b≥ 2 3 或b≤ 1 3 b＞ 2 9 b＜ 7 9 0＜b＜1

，
解得

2

3

≤b＜

7

9

或

2

9

＜b≤

1

3

，
故选：A

点评：本题主要考查分段函数的应用，利用换元法，结合一元二次函数图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．