Question

11．设椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左顶点为（-2，0），且椭圆C与直线$y=\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+3$相切，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（0，1）的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-7$？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由a=2，将直线方程代入椭圆方程，由△=0，即可求得b的值，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，可知当λ=2时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-7$，当过点P的直线AB的斜率不存在时，直线即与y轴重合，此时$A（{0，\sqrt{3}}），B（{0，-\sqrt{3}}）$，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-3+λ[{（{\sqrt{3}-1}）（{-\sqrt{3}-1}）}]=-3-2λ$，当λ=2时，等式成立，综上所述，当λ=2时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-7$．

解答 解：（1）根据题意可知a=2，所以$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$，
由椭圆C与直线$y=\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+3$相切，联立得$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+3\end{array}\right.$，
消去y可得：$（{{b^2}+6}）{x^2}+12\sqrt{6}x+36-4{b^2}=0$，由△=0，即${（{12\sqrt{6}}）^2}-4（{{b^2}+6}）（{36-4{b^2}}）=0$，
解得：b²=0（舍）或b²=3．
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）当过点P的直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
联立得$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，化简（3+4k²）x²+8kx-8=0，
所以$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{4{k^2}+3}}\\{x_1}{x_2}=-\frac{8}{{4{k^2}+3}}\\△≥0\end{array}\right.$，
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}+λ|{{x_1}{x_2}+（{{y_1}-1}）（{{y_2}-1}）}|$=（1+λ）（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
=$-\frac{{8（{1+λ}）（{1+{k^2}}）}}{{4{k^2}+3}}-\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}+1$，
=$\frac{{-2λ+4-4（{4{k^2}+3}）-2λ（{4{k^2}+3}）}}{{4{k^2}+3}}+1$，
=$\frac{-2λ+4}{{4{k^2}+3}}-2λ-3$，
∴当λ=2时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-7$
当过点P的直线AB的斜率不存在时，直线即与y轴重合，此时$A（{0，\sqrt{3}}），B（{0，-\sqrt{3}}）$，所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-3+λ[{（{\sqrt{3}-1}）（{-\sqrt{3}-1}）}]=-3-2λ$，
所以当λ=2时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-7$，
综上所述，当λ=2时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-7$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查分类讨论思想，属于中档题．