Question

19．已知数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，且满足：a₁=a，rS_n=a_na_n+1-b，n∈N^*．
（1）求a₂和a₃（结果用a，r，b表示）；
（2）若存在正整数T，使得对任意n∈N^*，都有a_n+T=a_n成立，求T的最小值；
（3）定义：对于?n∈N^*，若数列{x_n}满足x_n+1-x_n＞1，则称这个数列为“Y数列”．已知首项为b（b为正奇数），公比q为正整数的等比数列{b_n}是“Y数列”，数列$\{\frac{b_n}{2}\}$不是“Y数列”，当r＞0时，{a_n}是各项都为有理数的等差数列，求a_nb_n．

Answer 1

分析 （1）n=1时，ra=aa₂-b，可得${a_2}=\frac{ra+b}{a}$．n=2时，$r（a+\frac{ra+b}{a}）=\frac{ra+b}{a}{a_3}-b$，可得∴a₃．
（2）由rS_n=a_na_n+1-b，可得rS_n+1=a_n+1a_n+2-b，相减可得：ra_n+1=rS_n+1-rS_n=a_n+1（a_n+2-a_n），可得a_n+2-a_n=r$\{{a_{2k-1}}\}，\{{a_{2k}}\}（k∈{N^*}）$都是公差为r的等差数列．写出数列的前几项：a，$\frac{b}{a}+r$，a+r，a+2r，$\frac{b}{a}+2r$…．r＞0时，不合题意，同理r＜0时也不成立．r=0则数列为a，$\frac{b}{a}$，a，$\frac{b}{a}$…，当$a=\frac{b}{a}$即b=a²时，当b≠a²时，即可得出．
（3）{b_n}是首项为b（b为正奇数）公比q为正整数的等比数列，b_n＞0．由{b_n}是“Y数列”，可得b_n+1-b_n=b_n（q-1）＞1＞0，q-1＞0即q＞1，利用单调性可得：在{b_n+1-b_n}中，b₂-b₁为最小项，同理$\{\frac{1}{2}{b_{n+1}}-\frac{1}{2}{b_n}\}$中$\frac{1}{2}{b_2}-\frac{1}{2}{b_1}$为最小项．由{b_n}是“Y数列”，所以b₂-b₁＞1，即b（q-1）＞1．数列$\{\frac{b_n}{2}\}$不是“Y数列”所以$\frac{1}{2}{b_2}-\frac{1}{2}{b_1}≤1$，即b（q-1）≤2．可得b（q-1）=2．b为正奇数，可得b=1，q=3，∴${b_n}={3^{n-1}}$，由（2）有数列{a_n}的前三项是：a，$\frac{1}{a}+r$，a+，r，{a_n}是各项都为有理数的等差数列，$a+a+r=2（\frac{1}{a}+r）$整理得2a²-ar-2=0，进而得出．

解答 解：（1）n=1时，ra=aa₂-b，∴${a_2}=\frac{ra+b}{a}$．
n=2时，$r（a+\frac{ra+b}{a}）=\frac{ra+b}{a}{a_3}-b$，∴a₃=a+r∴a₁=a，${a_2}=r+\frac{b}{a}$，a₃=a+r…．（4分）（各2分）
（2）∵rS_n=a_na_n+1-b①
∴rS_n+1=a_n+1a_n+2-b②
②-①得ra_n+1=rS_n+1-rS_n=a_n+1（a_n+2-a_n），
∵a_n+1＞0，∴a_n+2-a_n=r$\{{a_{2k-1}}\}，\{{a_{2k}}\}（k∈{N^*}）$都是公差为r的等差数列．
写出数列的前几项：a，$\frac{b}{a}+r$，a+r，a+2r，$\frac{b}{a}+2r$…．
∴r＞0时，a_2k-1，a_2k都是单调递增的，不合题意，同理r＜0时也不成立
∴r=0则数列为a，$\frac{b}{a}$，a，$\frac{b}{a}$…
∴当$a=\frac{b}{a}$即b=a²时，T_min=1，当b≠a²时，T_min=2．
综上，T_min=1或T_min=2…．（8分）（各2分）
（3）∵{b_n}是首项为b（b为正奇数）公比q为正整数的等比数列，∴b_n＞0．
∵{b_n}是“Y数列”，∴b_n+1-b_n=b_n（q-1）＞1＞0，∴q-1＞0即q＞1，
∴b_n+1-b_n=q（b_n-b_n-1）＞b_n-b_n-1，
∴在{b_n+1-b_n}中，b₂-b₁为最小项，同理$\{\frac{1}{2}{b_{n+1}}-\frac{1}{2}{b_n}\}$中$\frac{1}{2}{b_2}-\frac{1}{2}{b_1}$为最小项．
由{b_n}是“Y数列”，所以b₂-b₁＞1，即b（q-1）＞1．
数列$\{\frac{b_n}{2}\}$不是“Y数列”所以$\frac{1}{2}{b_2}-\frac{1}{2}{b_1}≤1$，即b（q-1）≤2．
∴b（q-1）=2．
∵b为正奇数，∴b=1，q=3，∴${b_n}={3^{n-1}}$…（12分）．
由（2）有数列{a_n}的前三项是：a，$\frac{1}{a}+r$，a+，r，
∵{a_n}是各项都为有理数的等差数列
∴$a+a+r=2（\frac{1}{a}+r）$整理得2a²-ar-2=0，∴$a=\frac{{r+\sqrt{{r^2}+16}}}{4}$（$a=\frac{{r-\sqrt{{r^2}+16}}}{4}＜0$舍去）
∵$a=\frac{{r+\sqrt{{r^2}+16}}}{4}$是有理数，∴r²+16是一个完全平方数   设$\sqrt{{r^2}+16}=k∈{N^*}$，∴k²-r²=16．
由r＞0得$\left\{\begin{array}{l}k-r=1\\ k+r=16\end{array}\right.$（无整数解，舍去）或    $\left\{\begin{array}{l}k-r=2\\ k+r=8\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}r=3\\ k=5\end{array}\right.$．
此时，a=2，∴${a_n}=\frac{3n+1}{2}$．
所以，${a_n}{b_n}=\frac{{（3n+1）{3^n}}}{6}\;\;\;（n∈{N^*}）$…..（16分）

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、分类讨论方法、数列的递推关系、单调性、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．